프로베니우스 군

3. 성질

프로베니우스 군 $G$의 프로베니우스 핵이 $K$이며, 프로베니우스 여군이 $H$라고 할 때, 다음이 성립한다.

• $K$는 멱영군이다.^[1]
• $H$의 크기가 짝수라면, $K$는 아벨 군이다.^[1]
• $H$의 임의의 부분군 $A\le H$에 대하여, $A$의 크기가 두 소수의 곱이라면, $A$는 순환군이다.^[1]

4. 표현론

프로베니우스 군 $G$의 프로베니우스 핵이 $K$이며, 프로베니우스 여군이 $H$라고 하자. 그렇다면 $G$의 복소수 기약 표현들은 다음 두 종류 가운데 하나이다.

• $H$의 복소수 기약 표현 $\backslash rho\backslash colon\; H\backslash to\backslash operatorname\{GL\}(V)$에 대하여, $q\backslash colon\; G\backslash to\; G/K\backslash cong\; H$라면 $\backslash rho\backslash circ\; q\backslash colon\; G\backslash to\backslash operatorname\{GL\}(V)$는 $G$의 복소수 기약 표현이다.
• $K$의 복소수 기약 표현 $\backslash rho\backslash colon\; K\backslash to\backslash operatorname\{GL\}(V)$에 대하여, 만약 $\backslash rho$가 자명한 1차원 표현이 아니라면, $\backslash rho$에 대한 유도 표현 역시 $G$의 복소수 기약 표현이다.

5. 예시

대표적인 프로베니우스 군의 예는 다음과 같다.

• 가장 작은 예는 6개의 원소를 갖는 대칭군이다. 프로베니우스 핵 ''K''는 차수가 3이고, 보수 ''H''는 차수가 2이다.
• 각 유한체 ''F_q''에 대해, ''q'' (> 2)개의 원소를 갖는 가역 아핀 변환 $x\; \backslash mapsto\; ax+b$, $a\backslash ne\; 0$을 ''F_q''에 자연스럽게 작용하는 군은 프로베니우스 군이다. 앞선 예는 세 개의 원소를 갖는 체인 ''F₃''에 해당한다.
• 파노 평면의 공선형 변환군의 차수 21인 부분군은 한 점을 고정하는 3배 대칭 σ와 모든 7개의 점의 순환 순열 τ에 의해 생성되며, στ = τ²σ를 만족한다. ''F''₈^×을 파노 평면과 식별하면, σ는 ''F''₈의 프로베니우스 자기 동형 사상 σ(''x'') = ''x''²의 제한으로, τ는 0 또는 1이 아닌 임의의 원소(즉, ''F''₈의 순환 곱셈군의 생성원)를 곱한 것으로 취할 수 있다. 이 프로베니우스 군은 파노 평면의 21개의 깃발(표시된 점이 있는 선)에 단순히 추이적으로 작용한다.
• 차수 2''n''인 이각형군은 ''n''이 홀수일 때 차수 2의 보수를 갖는 프로베니우스 군이다. 더 일반적으로 ''K''가 홀수 차수의 임의의 아벨 군이고 ''H''가 차수 2를 가지며 반전으로 ''K''에 작용하면, 반직접곱 ''K.H''는 프로베니우스 군이다.
• 프로베니우스 군의 프로베니우스 보수를 비자명한 부분군으로 대체하면 다른 프로베니우스 군을 얻는다. 두 개의 프로베니우스 군 ''K''₁.''H''과 ''K''₂.''H''가 있으면 (''K''₁ × ''K''₂).''H''도 프로베니우스 군이다.
• ''K''가 지수 7을 갖는 차수 7³의 비아벨 군이고 ''H''가 차수 3의 순환군이면, ''H''에 대한 ''K''의 확장인 프로베니우스 군 ''G''가 존재한다. 이것은 비아벨 핵을 갖는 프로베니우스 군의 예시를 제공한다. 이것은 비아벨 핵을 갖는 프로베니우스 군의 첫 번째 예시였다(오토 슈미트에 의해 구성되었다).
• ''H''가 차수 120의 군 ''SL''₂(''F''₅)이면, 11개의 원소를 갖는 체 위의 2차원 벡터 공간 ''K''에 고정점을 자유롭게 작용한다. 확장 ''K.H''는 비가해 프로베니우스 군의 가장 작은 예이다.
• 자센하우스 군의 한 점을 고정하는 부분군은 프로베니우스 군이다.
• 피팅 부분군이 임의로 큰 멱영 계열을 갖는 프로베니우스 군은 이토에 의해 구성되었다: ''q''를 소수 거듭제곱, ''d''를 양의 정수, 그리고 ''p''를 ''q'' −1의 소수 약수로, ''d'' ≤ ''p''를 만족한다. 차수가 ''q''인 어떤 체 ''F''와 이 체의 차수가 ''p''인 어떤 원소 ''z''를 고정한다. 프로베니우스 보수 ''H''는 ''i,i''번째 항목이 ''z''^''i''인 대각 행렬에 의해 생성되는 순환 부분군이다. 프로베니우스 핵 ''K''는 대각선에 1을 갖는 상삼각 행렬로 구성된 GL(''d'',''q'')의 Sylow ''q''-부분군이다. 핵 ''K''는 멱영 계열 ''d'' −1을 가지며, 반직접곱 ''KH''는 프로베니우스 군이다.

6. 다른 정의

유한군 $G$가 프로베니우스 군이라고 가정했을 때, 집합 $X$의 순열로 구성된 프로베니우스 군 $G$에서 $X$의 점을 고정하는 $G$의 부분군 $H$를 '''프로베니우스 여군'''이라고 한다. 항등원과 $H$의 어떤 켤레에도 속하지 않는 모든 원소는 '''프로베니우스 핵''' $K$라고 하는 정규 부분군을 형성한다.^[1] 프로베니우스 군 $G$는 $K$와 $H$의 반직접곱이다.

:$G=K\backslash rtimes\; H$.

프로베니우스 핵과 프로베니우스 여군은 매우 제한된 구조를 가지고 있다. 톰프슨은 프로베니우스 핵 $K$가 멱영군임을 증명했다. 만약 $H$가 짝수 차수를 갖는다면 $K$는 아벨 군이다. 프로베니우스 여군 $H$는 차수가 2개의 소수의 곱인 모든 부분군이 순환군이라는 특징을 갖는다. 이는 그 실로우 부분군이 순환군 또는 일반화된 사원수 군임을 의미한다. 모든 실로우 부분군이 순환군인 군을 Z-군이라고 하며, 특히 메타순환군이어야 한다. 이는 두 개의 순환군의 확장을 의미한다. 만약 프로베니우스 여군 $H$가 가해적이지 않다면 자센하우스는 그것이 SL(2,5)와 30과 서로소인 차수의 메타순환군의 곱인 지수 1 또는 2의 정규 부분군을 가진다는 것을 보였다. 특히, 프로베니우스 여군이 그 도출 부분군과 일치한다면, 그것은 SL(2,5)와 동형이다. 만약 프로베니우스 여군 $H$가 가해적이라면, 4개의 점에 대한 대칭군의 부분군인 몫을 갖는 정규 메타순환 부분군을 갖는다. 유한군은 비항등 군 원소가 0이 아닌 고정점을 갖지 않는 선형 변환에 해당하는 유한체 위의 충실한 유한 차원 표현을 갖는 경우에만 프로베니우스 여군이다.

프로베니우스 핵 $K$는 피팅 부분군이기 때문에 $G$에 의해 고유하게 결정되며, 프로베니우스 여군은 Schur-Zassenhaus 정리에 의해 켤레까지 고유하게 결정된다. 특히 유한군 $G$는 최대 하나의 방법으로 프로베니우스 군이다.

$G\; =\; K\backslash rtimes\; H$가 정규 부분군 $K$와 여군 $H$의 반직접 곱이라고 가정하면, 중앙화 부분군에 대한 다음 제한 조건들은 $G$가 프로베니우스 여군 $H$를 갖는 프로베니우스 군이 되는 것과 동치이다.

• $K$의 모든 비항등원 $k$에 대해, 중앙화 부분군 C_''G''(''k'')는 K의 부분군이다.
• $K$의 모든 비항등원 $k$에 대해 C_''H''(''k'') = 1이다.
• H의 모든 비항등원 ''h''에 대해 C_''G''(''h'') ≤ H이다.

7. 역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다.